砝碼的不等權組合比對和用*小二乘法求解：

    質量單位的基準器，是*個1千克砝碼。但在*研究與生產實踐中，需要測*的質量是各種各樣的。這樣，就必須配備質量從小到大、其個數*少、但能組成任意質量量值的*組砝碼，這就是我們通常*說的“砝碼組”  0在*組砝碼中，各個砝碼的質量值，是按照*定的方式與相應的**級標準砝碼進行組合比對得到的。

    我國目前采用的組合比對法，基本上是沿用蘇聯很早以前提出的方法,對于其比對方案、誤差評定方法等，都有必要再進行認真的分析和探討，以便使之更加完善和嚴謹。

    下面以組合方式為5、2、2、1型的克組砝碼為例進行討論。為方便起見，在本文中約定:  以Xg00、X200、x.o.....X2、X;、X,和Xi表示名義質量為500克、200克、 200克... :.2克、;克、1克和克砝碼的質量計算值;K500、K，200、  ...K2.K; .K,和K;分別為它們的名義質量修正值; X10o0 和Kp。00 0;為**級千克標準砝碼的質量計算值和質量修正值;并且只討論檢定方法，而不考慮其它因素，如空氣浮力等的影響。根據蘇聯H.M.路多著*密衡量法》和我國的有英參考資料，可以得到砝碼組合比對的衡是方程組以及計算砝碼質量值的公式(1、2]。

    在理想的情況下，假如X。500、  X,2 00、.......X2、X;2 、X1和X;是各個砝碼的質量真值，文獻[1、2]中的計算公式當然是成立的。從數學的觀點來看、念有十三個未知數的十三個獨立方程的解是唯*的。因此。各個砝碼的質*佰可以按公式解出。但是，在測量次數有限的情況下，尤其是像l:而*說的那樣，十三個砝碼只進行十三次比對、沒有多余的測量次數,雖然可以求出各個位碼的質*估計值,但如果以這些公式為堪礎來評定各個砝碼在組合比對中的誤差，就不太嚴格。在評定誤差的時候，*先應該考您到殘差的影響;不*要考慮到組內的影響，還要考慮訓組外的影響;*后，還應注意到砝碼的組合比對是不等權的。

    如何選擇砝碼組的組合比對方案?如何評定組合比對中各個被檢砝碼的檢定*度?如何合理地規定各等砝碼的檢定*度?作者認為，在組合比對中，應在原來檢定方案的基礎上，適當增加獨立的比對次數，并采用*小二乘法進行數據處理和誤差分析，對各種可能的方案進行比較，從中找出*-個*度和效率都比較*的*佳方案來。

    關于應用*小二乘法原理對砝碼的組合比對進行分析和計算，從已掌握的文獻來看，早在1892年就有人提出。但是，由于計算量很大，并未得到普遍應用。隨著*枝術的發展,特別是計算枝術的發展,計算機的應用日益普遍，使人們可以十分方便地解決那些過去很難計算的數學問題。這樣，許多*就開始采用*小二乘法來處理砝碼組合比對中的計算問題。從文獻報導來看，美國等*在這方面做了許多工作，取得了*定的成績。

    在組合比對中，比對的次數和組合的方式應根據實際情況選擇，既可以把被檢砝碼當作*組進行組合比對，也可以按十進位單元分成的小組進行組合比對。美國D. B.Prowse和A.R.Anderson采用的是后*種方法[3]。本文擬對前*種方法進行討論，因為它和我國目前采用的檢定方法比較接近。*般來說，選擇的比對方式應盡可能在天平的*大負荷下進行，以利于提*比對*度。

    十三個砝碼與*個*- -級千克標準砝碼進行組合比對的時候，獨立的比對次數*多為34次。本文以21次為例，說明計算的方法和步驟。按照比對的方式和次序，通過適當的變換，可以得到下列的殘差方程組:

求得的計算值; L、.L.....是觀測值、也就檢是定時*得到的a值; v{、v....為殘差。

      這些觀測值是在四臺不同的天平上測得的，其中:

      L1~Lg是用1千克天平測量的，天平的不確定度△; =0.5毫克;

      L。~L1z是用200克天平測量的，天平的不確定度△2 =0.1毫克; :

      L1s~L17是用20克天平測量的.天平的不確定度△z =0.01毫克;

      L1R ~L21是用2克天平測量的，天平的不確定度△,=0.005毫克。

      顯然、這*組測量是不等權的，在進行數據處理以前，必須先把上述不等權的殘差方程組變換為等權的殘差方程組，也就是把上面的殘差方程組單位權化。

         在上面的克砝碼組中，各砝碼之間*有可能的組合方式總共為34次。為便于說明問題，作者分別對34次和14次做了計算。從計算的結果來看，在三組數據中，比對21次比較好，不*砝碼的檢定*度*，工作效率也*。這正是-*個好的檢定方案*必須具備的條件。但是比對次數也不能太少，否則計算出來的標準誤差^σ波動比較大。這是人們*不希望的。

    本文對如何應用*小二乘法來解決不等權組合比對中的數據處理和誤差評定問題，提出了初步看法，方法比較嚴謹，檢定*度也有*定程度的提*，無論是在解決工作基準組砝碼的組合比對方面，還是對于合理制定各等砝碼檢定*度，都將有*裨益。但由于條件*限，這里只能提出處理的方法和步驟。要找出*個*佳的組合比對方案來，還必須對各種可能的組合進行計算和比較,工作量相當大。